外積の三重積 | 長濱陸のブログ

次は右辺の内積側、$(x･z)y-(y･z)x$の第一成分です。

$(x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})\boldsymbol{y}-(y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})\boldsymbol{x}$(内積)
現時点では=の比較の為にベクトルの第一成分の内積だけを考えているので、以下のように変形します。
$x_{1}z_{1}y_{1}+x_{2}z_{2}y_{1}+x_{3}z_{3}y_{1}-y_{1}z_{1}x_{1}+y_{2}z_{2}x_{1}-y_{3}z_{3}x_{1}$(内積)
$x_{2}z_{2}y_{1}+x_{3}z_{3}y_{1}-y_{2}z_{2}x_{1}+y_{3}z_{3}x_{1}$(加法逆元)
$y_{1}(x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})-x_{1}(y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})$(分配法則)…②

上の内積の規則より、「内積は添字が全て一致した場合に消去される。つまり、必ず添字の組み合わせが異なるものだけが残さる」と言えます。…∗

また、以上より
①=②
$第一成分の\boldsymbol{(x×y)×z=(x･z)y-(y･z)x}$
は成立します。

次は第二成分です。
∗の考え方と外積の添字の規則を応用します。