ノルムと内積

内積の定義: $\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle = a_1^2 + a_2^2$

ピタゴラスの定理による長さ: $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

引用AI

ノルムと内積の関係はノルムの定義から簡単に導出できます。
また、ノルムの定義の気持ちとしは、「ベクトルの大きさを取り出したい」です。

証明
ベクトルを成分表示すると
$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2})$
このベクトルの長さ=ノルムは三平方の定理により
$\|a\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$(三平方の定理)
$\|a\|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$(平方根定義)
$\|a\|^{2} =⟨\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}⟩$(内積)

となります。

ベクトル加法

ベクトルの加法は
$\|\boldsymbol{a+b}\|$

上の定理より
$\|\boldsymbol{a+b}\|^{2}=⟨\boldsymbol{a+b},\boldsymbol{a+b}⟩$(ノルムと内積)
この内積を展開すると
$\|\boldsymbol{a}\|^{2}+\|\boldsymbol{b}\|^{2}+2⟨a,b⟩$(内積とノルム)…#1
※詳しい展開はコーシー・シュワルツ不等式を確認してください

内積とcosΘ

$\|\boldsymbol{a+b}\|^{2}=\|\boldsymbol{a}\|^{2}+\|\boldsymbol{b}\|^{2}-2⟨a,b⟩$(内積)

余弦定理より
$\|\boldsymbol{a-b}\|^{2}=a^{2}+b^{2}-2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|cosα$
よって
$2⟨a,b⟩=2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|cosα$(同値関係)
$⟨a,b⟩=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|cosα$(乗法逆元)

よって#1は
$\|\boldsymbol{a+b}\|^{2}=\|\boldsymbol{a}\|^{2}+\|\boldsymbol{b}\|^{2}+2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|cosα$

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