外積の三重積 | 長濱陸のブログ

添字操作

第一成分の形に着目します。
$y_{1}(x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})-x_{1}(y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})$

以上の添字の組み合わせは、抽象的には「直交するベクトルの関係」を表してえことが分かります。

つまり、例えば直交する三つのベクトルを考えた場合、xとyとzの具体的な意味を捨像するなら、xとyとzの記号と意味を入れ替えても抽象的な意味としての「直交するベクトル」は保たれます。

つまり、具体的には、「xとyは直交」と「yとzは直交」は、「記号が異なるだけの同じ意味」として解釈できます。

つまり、任意の記号とその右隣の記号を組み合わせる外積は、x→1,y→2,z→3、と記号を置き換えたとしても意味は保たれます※。
※宇宙にはx,y,zのような座標はありません。誰かが「この方向がx」と決めた瞬間に、y,zは相対的に決定されます。

この立場から「①=②」を解釈するなら、つまり「添字は『直交するベクトル』という、相対的な関係を表している」と解釈するなら、第二成分、第三成分も同じような法則が成り立つと予想できます。

要するに、それぞれの添字が変わるだけで、「隣接する直交するベクトルを取り出す操作」、という意味は変わらないのだから、第二、第三成分の外積の三重積も第一成分のと同じ処理で行える、と言うことです。

$\boldsymbol{(x×y)×z=(x･z)y-(y･z)x}$
は成り立ちます。

飛躍してますかね。