1+1 =2の証明を定義から導きます。
自然数の加法
定義
Wikipedia
1.自然数 1 が存在する。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の “意味”）。
3.異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。（ある種の単射性）
4.1 はいかなる自然数の後者でもない（1 より前の自然数は存在しない）。
5.1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
ただし、 a + 1 は a の後者として定義されている。後者関数 S を用いて表現すると以下のように書ける。
自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。
Wikipedia
1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)
証明
0を起点とする定義を採用します。
1=S(0)
2=S(S(0))と仮定すると
1.1+1=2(前提)
2.S(0)+S(0)=S(S(0))(自然数の定義)
1..S(0)+S(0)=S(S(0))(仮定)
2.S(S(0)+0)=S(S(0))(加法の定義2)
3.S(S(0))=S(S(0))(加法の定義1)
定義に従って同証明ができました。
ちなみに我流なので証明は正しいと思いますが、手順や正式なやり方に則っているのかは不明です。
決められた手順に従って、定義した構造を変化させていくのってパズルみたいで面白いですよね。僕は面白いなって思います。
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