$\boldsymbol{(x×y)×z=(x･z)y-(y･z)x}$

外積の三重積？は内積で表現できるのか。

外積は二つのベクトルに垂直なベクトルを生成することです。
x,yに垂直なベクトルは(x×y)、((x×y),z)に垂直なベクトルは((x×y)×z)。

基底ベクトルx,yに対して垂直な基底ベクトルz(=x×y)は、xy平面と垂直な方向に飛び出してきます。

閑話休題。

$(x×y)×z$

証明。

三次元ベクトルの外積を考えます。

$(x×y)$
$(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$(外積)…#1

二つのベクトルを一つのベクトルとして解釈し、混乱の根を除去します。
忘れないように=で結んでおきます。
$\boldsymbol{x×y}=w$(仮定)
#1と等号で結んで
$w_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}$
$w_{2}=x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}$
$w_{3}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$

先ずはwとzの外積を考えます。
$(w×z)$(仮定)
$=(w_{2}z_{3}-w_{3}z_{2},w_{3}z_{1}-w_{1}z_{3},w_{1}z_{2}-w_{2}z_{1})$(外積)
$=((x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{3},(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})z_{2},(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{1}-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2})z_{3},(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})z_{2}-(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{1})$(代入)

次に更に扱いやすい形に変形します。

目に悪いので成分ごとに分解して考えます。

$(x×y)×z$の第一成分
$(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{3}-(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})z_{2}$(仮定)
$x_{3}y_{1}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{3}-x_{1}y_{2}z_{2}+x_{2}y_{1}z_{2}$(分配法則)
$x_{3}y_{1}z_{3}+x_{2}y_{1}z_{2}-x_{1}y_{2}z_{2}-x_{1}y_{3}z_{3}$(交換法則)
$y_{1}(x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})-x_{1}(y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})$(分配法則)…①