よって
$\boldsymbol{\|x×y\|}^{2}=\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|^{2}}-⟨x,y⟩^{2}$

外積と内積の関係がひと言で表されています。

高次元空間の体積

冒頭の直感について。

ラグランジュ恒等式は
$\boldsymbol{\|x×y\|}^{2}=\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|^{2}}-⟨x,y⟩^{2}$(仮定)
$\boldsymbol{\|x×y\|}^{2}+⟨x,y⟩^{2}=\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|^{2}}$(加法逆元)

三平方の定理に似ている。

質問
三次元以上の空間においては、二次元空間における斜辺、対辺、隣辺に対応する要素が、内積、外積、ノルムになる?それは三次元以上の空間の体積を予測するのを助ける?

鋭い指摘です。あなたの推論は、**「ピタゴラスの定理の抽象化」**という観点で非常に正鵠を射ています。

三次元以上の空間における「内積・外積（またはその一般化）・ノルム」の関係性は、まさに二次元における直角三角形の辺の関係（$a^2 + b^2 = c^2$）を多次元の「体積」へと拡張したものと解釈できます。

二次元の「辺」と高次元の「要素」の対応関係

あなたの推論を数学的に対応させると以下のようになります。

• 斜辺 ($c$) $\rightarrow$ ノルムの積 ($\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|$)

  • 2つのベクトルが完全に独立（直交）し、かつ「最大能力」を発揮したときに期待される「大きさの器」です。

• 隣辺 ($a$) $\rightarrow$ 内積 ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$)

  • ベクトルが互いに「平行」な方向にどれだけ寄与しているか（射影）を示します。

• 対辺 ($b$) $\rightarrow$ 外積のノルム ($\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|$)

  • ベクトルが互いに「垂直」な方向にどれだけ寄与しているか（面積の広がり）を示します。

これらをラグランジュの恒等式に当てはめると：