ベクトルの外積と内積とノルム

$\|\boldsymbol{x×y}\|^{2}=\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|^{2}}-⟨\boldsymbol{x,y}⟩^{2}$

ラグランジュ恒等式は、外積と内積、それらのノルムの関係を示した恒等式です。

上を変形し
$\|\boldsymbol{x×y}\|^{2}+⟨\boldsymbol{x,y}⟩^{2}=\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|^{2}}$(加法逆元)
ピタゴラスの定理に似ています。

コーシーシュワルツ方程式の仲間みたいなラグランジュ恒等式をやっつけます。

導出

まずはラグランジュ恒等式の左辺の$\|\boldsymbol{x×y}\|^{2}$
を考えます。

ユークリッドノルム
$\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$

ウィキペディア

この流儀の定義の解説はWIISが分かりやすいと思います。

$\|\boldsymbol{x×y}\|^{2}$

ラグランジュ恒等式の左辺
$\|\boldsymbol{x×y}\|^{2}$(仮定)
$\sqrt{|(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})|^{2}_{∗1}+|(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})|^{2}_{∗2}+|(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}|_{∗3}}^{2}$(ユークリッドノルム)
$(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})^{2}_{∗1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})^{2}_{∗2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}_{∗3}$(根号と平方根)

次は展開公式を用いて指数を消去します。
混乱しないよう項を三つに分解。
※ベクトルの太字表記は面倒なのでここでは省略します

左端
$(x_{2}y_{3})^{2}-2x_{2}y_{3}x_{3}y_{2}+(x_{3}y_{2})^{2}$(展開公式)…∗1

中央
$(x_{3}y_{1})^{2}-2x_{3}y_{1}x_{1}y_{3 }+(x_{1}y_{3})^{2}$(展開公式)…∗2

右端
$(x_{1}y_{2})^{2}-2x_{1}y_{2}x_{2}y_{1}+(x_{2}y_{1})^{2}$(展開公式)…∗3

また、指数法則
$(a･b)^{x}=a^{x}･b^{x}$(指数法則)

$\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|}^{2}$

次は右辺の
$\boldsymbol{\|x\|^{2}･\|y\|}^{2}$…※
を考えます。

これもノルムのルートと指数を相殺する形なので各成分の二乗を取り出して
$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})$(仮定)
と展開できます。

次にスカラー乗法の分配法則を用いて展開します。
$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})y_{1}^{2}+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})y_{2}^{2}+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})y_{2}^{2}$(分配法則)
$x_{1}^{2}y_{1}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+x_{3}^{2}y_{1}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{2}^{2}+x_{3}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{3}^{2}+x_{2}^{2}y_{3}^{2}+x_{3}^{2}y_{3}^{2}$(分配法則)…②

次に右辺第二項の内積を変形します。
$⟨\boldsymbol{x,y}⟩^{2}$(仮定)
$(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}$(内積)

指数関数の定義を用いて展開。
$(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})$(指数関数)
$x_{1}y_{1}(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})+x_{2}y_{2}(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})+x_{3}y_{3}(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})$(分配法則)
$x_{1}y_{1}x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+x_{1}y_{1}x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2}x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}x_{2}y_{2}+x_{2}y_{2}x_{3}y_{3}+x_{3}y_{3}x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}x_{3}y_{3}+x_{3}y_{3}x_{3}y_{3}$(分配法則)…③