ネイピア数eを筆頭に、無理数には奇妙な性質があって面白いですよね。

無理数

ベクトル→微分→ネイピア数
いつも思考が迷子。

好奇心を食って生きているんでそれでいいんです。

ネイピア数e

オイラーによる定義
e は$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,a^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\lim _{h\rightarrow 0}　{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{x}$
を満たすような実数 a、つまり
$\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1$
をネイピア数の定義とした。

ウィキペディア

ネイピア数の自己増殖的な構造を見ていきます。

微分が自分自身である指数関数。

複利の頭を押さえつける定数がネイピア数。

式の原始的な形は↓
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+\dfrac{1}{n})^n{}$(複利)…①
預金の出し入れを高速高頻度で行い大金持ちになろうとしたネイピアを絶望させたのがネイピア数。

展開していく前に指数が分数の指数法則の復習。
$x^{1}=x$(定義)
$x^{\frac{1}{n}･n}$(乗法逆元)
$x^{n}･x^{\frac{1}{n}}$(指数法則)
$x^{n}･x^{\frac{1}{n}}=x$(同値関係)
よって
$x^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{x^{n}}$

例えば$2^{\frac{1}{2}}$なら$\frac{1}{4}$です。

すなわち、上の複利①の式は
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }(1+n)^{\frac{1}{n}}$…②
と言い換えられます。

ネイピア数の定義を変形していきます。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{h}-1}{h}=1$(定義)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }e^{h}-1=\displaystyle \lim_{ h \to 0}h$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }e^{h}=\displaystyle \lim_{ h \to 0}=h+1$(加法逆元)
$e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }(1+h)^{\frac{1}{h}}$(指数法則)
$e=\displaystyle \lim_{ h \to \infty }(1+\dfrac{1}{h})^{h}$(②)…#

複利の式と同じ形が演繹されました。
要点は「極限をとると1になるのがネイピア数」「微分が自分自身になるのがネイピア数」です。同値変形のみなので、逆の演繹も成り立ちます。

自己増殖がネイピア数。

$e^{x}$を微分すると
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{a+h}-e^{a}}{h}$(ネイピア数)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{a}･e^{h}-e^{a}}{h}$(指数法則)
$\displaystyle \lim_{ h \to \infty }e^{a}(\dfrac{e^{h}-1}{h})$(分配法則)
$e^{a}･1$(ネイピア数定義)
$e^{x}は$微分しても形が変わりません。

この形が嬉しいのは、指数法則でこの形に変形して式を簡単化できることがあるから。

以下はよもやま話。