ところで、ごちゃごちゃとした扱いにくさに苛ついて来たときに、「そうだ、添字の操作に変形することも可能だ」と。しかし既に遅しです。

脱線しますが、つまり、添字操作なら、上の煩雑な計算を下の形として扱えます。
$(\|\boldsymbol{X}\|･\|\boldsymbol{Y}\|)^{2}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}x^{2}_{i}y^{2}_{j}$(②)…#
$⟨\boldsymbol{X,Y}⟩^{2}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}x_{i}y_{i}x_{j}y_{j}$(③)…##

#-##を考える。
$i=j$(仮定)
⇒$a_{i}^{2}=a_{j}^{2}$(べき乗一意性)
$i=j$の場合は#=##。
#-##を行うと、i=jの場合だけ加法逆元により両者の項が消去される。

それさえ分かれば一々を明示的に表記せずに機械的に総和処理を行っていくだけですが、それでは本当にそうなっているのか不安なので、頑張ってi=jの場合を消去します。

#のi=jの場合だけ目印をつけています。
$[x_{1}^{2}y_{1}^{2}]^{￥1}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+x_{3}^{2}y_{1}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+[x_{2}^{2}y_{2}^{2}]^{￥2}+x_{3}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{3}^{2}+x_{2}^{2}y_{3}^{2}+[x_{3}^{2}y_{3}^{2}]^{￥3}-[x_{1}y_{1}x_{1}y_{1}]^{￥1}+x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+x_{1}y_{1}x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2}x_{1}y_{1}+[x_{2}y_{2}x_{2}y_{2}]^{￥2}+x_{2}y_{2}x_{3}y_{3}+x_{3}y_{3}x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}x_{3}y_{3}+[x_{3}y_{3}x_{3}y_{3}]^{￥3}$(②③)

$￥1,2,3$は加法逆元により消去される。
よって
$x_{2}^{2}y_{1}^{2}+x_{3}^{2}y_{1}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{3}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{3}^{2}+x_{2}^{2}y_{3}^{2}+x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+x_{1}y_{1}x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2}x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}x_{3}y_{3}+x_{3}y_{3}x_{1}y_{1}+x_{3}y_{3}x_{2}y_{2}$(加法逆元)
$x_{2}^{2}y_{1}^{2}+x_{3}^{2}y_{1}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{3}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{3}^{2}+x_{2}^{2}y_{3}^{2}+2x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+2x_{1}y_{1}x_{3}y_{3}+2x_{2}y_{2}x_{1}y_{1}$(加法)

結果は冒頭の∗1,2,3の合成と完全に一致し、同値関係の定義を満たします。