転置行列が直交行列であるような空間、すなわち、行列$A$の転置行列$A^{t}$と逆行列$A^{-1}$が一致する条件を考えます。
直交行列と転置行列
直交行列
MTM = M MT = E
逆行列
$\displaystyle AB=E=BA$
直交行列
基底ベクトル
基底ベクトル（basis vector）は、ベクトル空間（空間上のすべてのベクトル）を線形結合によって一意に表現するための、線形独立なベクトルの集合のことである。主に、空間内の座標系を構成する基本要素として機能し、その数（次元）は一定である。2次元空間では2つ、3次元では3つのベクトルが互いに平行でなく、かつ空間をすべて張る（カバーする）必要がある。
引用AI
上のウィキの定義を見た瞬間の疑問は、「なんで転置して行列積して単位行列なら直交やねん？？？」だと思いました。
行列集合Mから任意に行列Aをとってきた場合に、仮に
$A^{t}A=AA^{t}=E$
が成り立つなら、それは行列Aの任意の要素が他の全ての要素に直交する場合だけですよ#、という意味だと思われます。
三次元のベクトルを格納する行列$A$を考えた場合、行列の各要素は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)となります。
これらは自らとの内積が自分自身を返す行列です。
つまり、$A$と転置した行列$A^{t}$の行列積なら、行iと列jが一致する$i=j$の場合にのみ、自分自身を返してくれます。
分かりにくいので言い直します。
コメント