行列Aに格納される要素が基底ベクトルだと仮定#するなら、定義より、任意に要素を選んだ場合のその内積は
$⟨a,b⟩=\|a\|\|b\|COSΘ$
また、弧度法の定義より
$COS90°=COS\frac{π}{2}=0$(仮定#)

つまり、#を満たす行列Aから任意の要素i,jを選べば
$i,j∈A$をは当然に
$i≠j⇒0,i=j⇒1$…①
となります。

また転置行列は行列jと列iを入れ替えること。つまり
$a_{ij}=a_{ji}^{t}=1$…②

行列$A$をn行1列、行列$A^{t}$を1行n列だと仮定して①②を行列積で展開すると、それは対角線が全て1、それ以外が0の行列になります。
あれ？これ単位行列じゃね？と。

正規直交基底

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を ai, j とすると次のように書ける。

$\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.$

ウィキペディア

ウィキペディアの定義は、行列集合Mから任意の要素二つの内積が0になる行列A(※)を取り出した場合、それとその転置行列との積は
$AA^{t}=A^{t}A=e$
になる。
i=jではない任意の要素が直交するから。これを直交行列と定義すると便利。
加えて逆行列の定義も満たす。やった！
※正規直交基底と言うらしい

この説明を聞くと、上記のような直交座標系の行列ではない、例えば歪んだ座標系や偏りのある斜行座標系なら、直交行列の定義は成り立たない。
すなわち、空間の歪みを考慮するなら、直交行列の性質(ヒトの直観)ではそれは語れない、と言い換えられのではないかと。
そうする為には、直交行列と斜行行列などの歪み行列を橋渡しする写像が必要になるよねと。
ところで、重力は空間を歪ませるらしいです。