対数定義
対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。
1 でない正の実数 a および正の実数 x に対し
- $x=a^{p}$
- を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p を x の a を底とする対数として定義する。x に対して a を底とする対数を loga x と表わせば、上記の方程式を満たす p は以下のように書き換えることができる。
- $p=log_{a}x.$
- この対数の定義はレオンハルト・オイラーによる（1728年）。
- 正の実数 a ≠ 1 について、正の実数 x を変数にとる実数値連続関数 fa (x) として
- $\displaystyle {\begin{aligned}f_{a}(xy)&=f_{a}(x)+f_{a}(y)\\f_{a}(a)&=1\end{aligned}}$
- を満たすものを
- $\displaystyle f_{a}(x)=\log _{a}x$
- と書き、この関数 loga x を a を底とする対数関数と呼ぶ。
- ウィキペディア
- 連続関数とは、そのグラフが途中で途切れることなく、どこまでもつながっている関数を指します。
- 引用AI
$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$
指数法則
$a^{x+y}=a^{x}･a^{y}$
指数関数は
ℝ→ℝ₊₊
の関数。
任意の実数を正の実数へ送る関数。
ℝ₊₊→ℝ
の一対一対応だけを考えるなら、対数関数は指数関数の逆関数と見なせます。
例えば
$\log_2{4}=x⇔2^{x}=4$
と一対一の対応関係を考えられます。
一般化すると
$\log_a{y}=x⇔a^{x}=y$
と変形できます。
$\log_a{x}=X$(対数定義)…①
$\log_a{y}=Y$(対数定義)…②
$\log_a({x･y})=\log_a({a^{X}･a^{Y}})$(①②)
$\log_a{a^{X+Y}}$(指数法則)
$X+Y$(対数定義)
$\log_a{X}+\log_a{Y}$…③
以上より
$\log_a({x･y})=\log_a{x}+\log_a{y}$
同様に
$\log_a{\frac{x}{y}}⇔\log_a{x}-\log_a{y}$
が成り立ちます。
$\log_a{\frac{x}{y}}⇔\log_a{x}-\log_a{y}$
$\log_a{x}=X⇔x=ax^{X}$(①)
$\log_a{\frac{1}{y}}=X⇔x=ax^{\frac{1}{Y}}¥$(②)
$\log_a{\frac{x}{y}}$(仮定)
$\log_a{\frac{a^{X}}{a^{Y}}}$(対数定義)
$\log_a{\frac{a^{X}}{a^{Y}}}$(①,②)
$\log_a{a^{X-Y}}$(指数法則)
$X-Y$(対数)
$\log_a{x}-\log_a{y}$(①,②)
$\log_a{x^{p}}=p\log_{x}$
見出しの変形の証明。
$\log_a{x}=X$(対数関数定義)…①
$a^{X}=x$(①より)
$x^{p}$(仮定)
$x^{p}=(a^{X})^{p}$(代入)
$a^{Xp}$(指数法則)
$\log_a({a^{Xp})}=Xp$(対数定義)
$pX$(乗法交換法則)
$p\log_a{x}$(X代入)
$\log_a{x^{p}}=p\log_a{x}$(推移関係)
よって
$\log_a{x^{p}}=p\log_a{x}$
$\log_a{\frac{1}{x}}=-\log_a{x}$
$\log_a{x}=X$(仮定)
$\log_a{\frac{1}{x}}$(仮定)
$\log_a{x^{-1}}$(指数法則)
$\log_a{(a^{X})^{-1}}$(仮定)
$\log_a{a^{X･-1}}$(指数法則)
$X･-1$(対数関数)
$-1･X$(情報交換法則)
$-\log_a{x}$(仮定)
$\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$
$X=\log_a{x}$…①
$Y=\log_b{x}$…②
$\log_b{x}=\log_b{a^{X}}$(仮定)
$\log_b{x}=X･\log_b{a}$(対数法則)
$\log_b{x}=\log_a{x}･\log_b{a}$(①)
$\dfrac{\log_b{x}}{\log_b{a}}=\log_a{x}$
練習問題
チャッピーに問題を出してもらいましたを
1.$\log_2{8}$
を計算しなさい。
$\log_2{2³}=3$
2.$\log_3{81}-\log_3{9}$
を計算しなさい。
$\log_3{81･9⁻¹}$(対数法則)
$\log_3{9}=3$(対数定義)
3.$\log_5{x}=3$
を計算しなさい。
$125=5³$
4.$y=\log_2{x-3}$の定義域を求めなさい。
対数関数は、その定義より
対数関数
$\log_a{x}$
の定義域は底a>0∧a≠1,x>0
底は2>0なのて問題なし。
真数は、
3>xならx-3>0になります。
よって、x>3ならば対数関数の定義域の条件を満たします。
5.$\log_2{8}$を常用対数で表しなさい。
$\log_2{8}=\dfrac{\log_{10}8}{\log_{10}2}$(底の変換法則)
$\log_2{8}=\dfrac{\log_{10}2^{3}}{\log_{10}2}$(指数定義)
$\log_2{8}=\dfrac{3\log_{10}2}{\log_{10}2}$(対数法則)
$3$(乗法逆元)
6.$\log_{4}2$を$\log_2$で表せ。
$\dfrac{\log_2{2}}{\log_{2}4}$
$\dfrac{1}{2}$
指数を基点にするなら。
$\log_{4}2=x⇔4^{x}=2$
$x=\dfrac{1}{2}$
7.$\log_7{49}$を$\ln$で表せ
$\dfrac{\ln{47=\ln7^{2}}}{\ln{7}}$(仮定)
$\dfrac{2\ln{7}}{\ln{7}}$(対数法則)
$2$(乗法逆元)
8.$\log_{3}5･\log{5}7$を簡単にせよ。
$\log_{3}5=\dfrac{\log_{c}5}{\log_{c}3}$(対数法則)…①
$\log_{5}7=\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}5}$(対数法則)…②
$\dfrac{\log_{c}5}{\log_{c}3}･\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}5}$(①②)
$\dfrac{\log_{c}7}{\log_{c}3}$
$\log_{3}7$
9.$/log_ {a}b･\log_{b}c･log_{c}a=1$を証明性せよ。
底の変換法則により、底をdとする対数に変形。
$log_{a}b=\dfrac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$
$log_{b}c=\dfrac{\log_{d}c}{\log_{d}b}$
$log_{a}b=\dfrac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$
それぞれの分母と分子がいい感じの構成。逆元により1へ送られます。
コメント