証明
Aが、正規直交基底ベクトルで構成されるなら、内積と転置行列の定義より
$ij=ji⇒⟨a_{ij},a_{ji}⟩=\|A\|\|A^{t}\|1=1$
$ij≠ji⇒⟨a_{ij},a_{ji}⟩=\|A\|\|A^{t}\|0=0$
行列Aとその転置行列の添字が一致する場合は1、それ以外は0※。

添字の一致だけを考察するこの形式は、行列の計算から視覚的な形ってノイズを捨像してくれるのどは？
「縮約」と呼ばれるとのこと。

単位行列

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を ai, j とすると次のように書ける。

$\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.$

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

$\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

ウィキペディア

従って、正規直交基底=直交座標系においては
$(AA^{-1}=A^{-1}A)=(A^{t}A=AA^{t})=E$
※正則である必要もありますが、正規直交基底に正則行列は包含されていると直観で判断しています。

正則行列は逆行列が一意に定まる。また、そこでは行列を転置させれば(≒裏返せば)、逆行列が得られる。

この性質は、逆行列の特定って超絶煩雑な手順を省略してくれるから嬉しい。

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