基本的に我流定義なので、∀と∃の順番は気にしてませんでしたが「ちょっと待って、これ大丈夫？」と不安になったので
∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)⇔∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y)
が成り立つのか確認します。
∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)(前提)
P(a,b)(全称除去)
∀y∈Y:P(a,y)(全称導入)
∀y∈Y,∀x∈X:P(a,y)(全称導入)
∀x∈X,∀y∈Y:P(x,y)→∀y∈Y,∀x∈X:P(x,y)
集合Xの全ての要素を表すaと集合Yの全ての要素を表すyを全称除去で代入して、今度は全称導入でそれを逆回転させて、論理式の集合の順序を入れ替えました。
このやり方は存在記号にも応用できるので、
∃x∈X,∃y∈Y:P(x,y)⇔∃y∈Y,∃x∈X:P(x,y)
にも成立します。
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