我流負数の交換法則とか

股関節おじさんの勉強部屋

2024.03.10

いつかの我流定義。
-a=-s(a)+1
今朝、ふとこれは定義ではなく定理だなと。

-s(a)+1(前提)
-(s(a)+(-1))(負数定義)
-(a+1+(-1))(負数定義)
-(a)(負数定義)
-a(負数定義)
s(a)+1=-a

乗法で負数を定義した
-a=-1×a
だけでやれるなと。

具体的な数で試すと。
-1+(-2)
-(1+2)
-3

1-3
1+(-3)
-3+1
-2

閑話休題。

本題の我流定義で交換法則が導けるのかを試します。
数学的帰納法で一番目が倒れれば最後まで倒れる構造になっていることを証明します。

(a+(-b)=-b+a)→(a+(-s(b))=-s(b)+a)

a+(-s(b)(前提)
s(a+(-b)(加法定義)
a+(-b)+1(自然数定義)
(a+(-b))+1(結合法則)
(-b+a+1)(数学的帰納法仮定)
-b+(a+1)(結合法則)
-b+(1+a)(交換法則)
-b+1+a(結合法則)
-s(b)+a(自然数定義)

次にb=1でこの仮定が成立することを証明します。

a+(-s(1))=-s(1)+a(前提)
a+(-1)+1=-1+1+a(自然数定義)
a+0=0+a(負数定義)
a+0=a+0(交換法則)
a(自然数定義)

この意味する所はあまり分かっていませんが、取り敢えず構造的にはそうなるよねってことは分かりました。

一枚目のドミのが倒れたので、その次以降のドミノも連鎖的に倒れていきます。

自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。

すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)
1 := suc(0) と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。
Wikipedia

ちなみに負数同士の加法は

-a+(-b)(前提)
(-1×a)+(-1×-b)(負数定義)
-1×(a+b)(分配法則)
-1×(b+a)(交換法則)
-b+(-a)(分配法則)
で証明できます。