1×0=0と1×1=1の証明

自然数の乗法

定義

自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。

すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)

1 := suc(0) と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。

加法が定義されたならば、自然数の乗法は再帰的に、以下のように定義できる。

1.すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
2.すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a

Wikipedia

証明

1×0の証明は定義の通り。

1.S(0)×0(仮定)
2.0(乗法の定義1)

1×1=1も定義に従って。

1.S(0)×S(0)(仮定)
2.(S(0)×0)+S(0)(乗法定義2)
3.0+S(0)(乗法定義1)
4.S(0+0)(加法定義2)
5.S(0)(加法定義1)

ある集合 S において、以下の3つの性質をすべて満たす二項関係 ∼ は S 上の同値関係であるという。それらの性質とは S の任意の元 a, b, c に対して、

反射律：a ∼ a.
対称律：a ∼ b ならば b ∼ a.
推移律：a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c.
上の3つをまとめて同値律ということがよくある[1]。∼ が同値関係であるときに、a ∼ b であることを、a と b は同値であるという[1]。

Wikipedia

自然数の定義と人の認識

人の認識を延長したものが含意、さらにその含意を延長し集合を含む概念にしたのが写像、関数。この文脈から自然数の定義にどんな物語が与えられるのかを見ていきます。人の認識って文脈から数学を理解しようって試みであくまでも長濱説、我流です。 写像と含...

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2023.05.15