全称命題と存在命題の関係

wikiにこうあります。

全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。

Wikipedia

これを確かめたい。

証明

wikiの文章だけだと意味が捉えにくいので、僕なりの解釈で翻訳してみると恐らくは
「命題Pを満たす要素だけからなる集合は存在しない=集合の要素全てが命題Pを満たすわけではない」
と
「命題Pを満たさないxを持つ集合が存在する=集合の要素全てが命題Pを満たすわけではない」

こんな解釈かと。論理式はこう。

∃x¬P(x)→¬∀x(P(x))⇔¬(∀xP(x)))→∃x¬P(x)

[∃x¬P(x)](前提)
[∀xP(x)](前提)
¬P(a)(∃除去)
P(a)(∀除去)
⊥(¬除去)
¬(∀xP(x))(¬導入)
∃x¬P(x)→¬(∀xP(x))(→導入)

¬(∀xP(x))(前提)
P(a)(前提)
¬(P(a))(∀除去)
⊥(¬導入)
¬P(a)(背理法)
∃x¬P(x)(∃導入)
¬(∀xP(x))→∃x¬P(x)(→導入)

結論から逆算して仮定を設定しているので、仮定だけで解釈しようとすると混乱すると思います。ゴールから始めてスタート地点を求めてます。

毎度のことながら我流なので正しさは保証されません。