恒等式と恒偽式の定義と定理

恒等式と恒偽式（矛盾）の同値変形の定理について学びます。

恒等式と恒偽式

恒等式

【定義】
ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。
$\mathrm {Val}$ を命題変数の全体とする。
$f:{\mathrm {Val}}\to {\top ,\bot \$ なる写像、すなわち命題変数への真理値割り当てを考える。
⊤は恒真、
⊥は矛盾。次のようにして
f の始域を論理式の全体
$\mathrm {Fml} $に拡張する（右辺の
∧∨¬→ は論理記号ではく
{\top ,\bot }$ 上の 演算である）：

$f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )$
$f(\alpha \vee \beta ):=f(\alpha )\vee f(\beta )$

$f(\neg \alpha ):=\neg f(\alpha )$
$f(\alpha \to \beta ):=f(\alpha )\to f(\beta )$
このようにして得られる写像
$f:{\mathrm {Fml}}\to {\top ,\bot }$ を付値という。任意の付値
f に対して

$⊤f(\alpha )=\top$ となるとき$alpha を恒真式という。

Wikipedia

長ったらしいので簡単に要約すると、A∨¬Aの論理式はAの値の如何に関わらず、つまり任意の解釈において真を写すような写像です。
このような写像（論理式）を恒等式と定義しています。

恒偽式

如何なる解釈においても偽、つまり恒等式を否定した

¬T⇔⊥

写像が恒偽式です。

また恒等式と恒偽式には以下の性質（定理）があります。

A∨T⇔T
A∨⊥⇔A
A∧⊥⇔⊥
A∧T⇔A

x+0=x,x×1=x,のような演算後も値が変化しない加法や乗法の単位元の概念がうっすらと浮かび上がりました。

下の例のようにある命題変数と⊥,Tと∨,∧を組み合わせると同値変形で演算記号を消える、というのが要点だと思います。

1.(A∧B)∧¬B(仮定)
2.A∧(B∧¬B)(結合法則)
3.A∧⊥(矛盾律)
4.⊥

1.A∧(B∨¬B)
2.A∧T(排中律)
3.A

同値変形で元の論理式を整理できます。