$\sqrt{x}’$
微分の定義式から導出
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{a+h} – \sqrt{a}}{h}$(微分)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{(\sqrt{a+h} – \sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(展開公式)
h$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(加法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+0}+\sqrt{a}}$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{2\sqrt{a}}$
導関数から
n次式の導関数は$((x^n)’ = n x^{n-1}$と一般化できます。
次数が前に降りてきて指数に-1します
復習
$x=x^{1}=x^{\frac{1}{2}\cdot 2}$
$(x^{\frac{1}{2}})^{2}$(指数法則)
二乗して$x$になる数なので$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$です。…①
$\sqrt{x}’=(x^{\frac{1}{2}})’$(①)
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$(導関数)
$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$(分数加法逆元)
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$(指数法則)
０で微分不可能
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{0+h} – \sqrt{0}}{h}$(仮定)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{h}}{h}$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h}}$(乗法逆元)
$\infty$(極限)
一瞬「は？」と思いました。
「√xはx≠0の時は導関数が導出できるのに、x=0の時は無限に発散するのが気持ち悪い。定義上そうなるのは理解できるが、0の時だけ関数の挙動が変わるわけがない」と直感的に感じてしまったからです。
ただし、この直感は勘違いでした。
傾きが垂直になったことを「関数の連続性が失われしまった」と勘違いしてしまいました。
つまり、よくよく考えてみれば関数の連続性が失われたのではなく、下のグラフのように、0付近まで限りなく近づいた場合は「傾きが垂直に近づく」ことを意味していただけでした。
0近傍では傾きが垂直に近づく
「0だけ別の挙動」というより、正の範囲で傾きが際限なく大きくなり、その極限として、原点で有限の傾きが存在しない、ということ。したがって、「関数自体は原点で連続」です。「有限の傾きで直線近似すること」ができないだけです。
これは「関数が不連続（別の挙動）になっている」のではなく、「有限な実数としての右側微分係数は存在しない」という意味です。
徐々に傾きは反り立っていくのだけど、原点では傾きが無限大になるから有限の値では表記ができない、関数は連続なんだけど穴が空いているような気がする
微分係数が不連続なことと関数が不連続であることは分けて考えよ
- 関数 $f(x)$ の連続性：関数の値 $f(x)$ が $x$ の変化に応じて連続につながるか。
- 微分係数 $f′(x)$ の連続性：各点で定義された傾きが、点を動かすと連続的に変化するか。
今回の$f(x)=\sqrt{x}$の例では、「微分係数が不連続」というより、原点で微分係数が存在しないため、導関数を原点まで連続に延長できないと言うのが正確です。
一般に微分可能な関数は連続ですが、導関数は必ずしも連続ではありません。つまり、関数の連続性と導関数の連続性は別の性質です。
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