ベクトルをやってたはずが…思考が飛びまくり。
また迷子。
微分と連続性
連続性はε-∂論法で定義される。
それの厳密な定義は極限によって定式化さる
$\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる：
任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$
連続性の定義式
微分の定義式から上のウィキペディアの連続性の定義を導出します。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=a$(微分)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }f(a+h)-f(a)=a\displaystyle \lim_{ n \to 0 }h$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }f(a+h)-f(a)=0$(極限と乗法零元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0}f(a+h)=f(a)$(加法逆元)
微分の定義式から連続(性)の定義を導出できました。
つまり、「微分可能」は「連続である」の十分条件。
後述しますが、微分と連続は必要十分ではありません。
微分可能は連続の必要条件です。
ε-δと微分
ε-δの定義の日本語訳
$∀ε>0,∃δ,s.t.∀x:|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε$
どんなに小さな$ε$を選んだとしても、$|f(x)-f(a)|<ε$にするような$δ$が必ず存在する。
連続性
連続性は極限をとると値が収束すること。関数の収束はε-δが成り立つこと。
すなわち連続性とε-δは同値。
$f'(a)≒f(a)=L$(仮定)
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L$(微分)
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}≒L+ε$(言い換え)
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}<L+ε$(言い換え)
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L<ε$(加法逆元)
微分の定義より、定義域hを決めると導関数は決定されます。
すなわち
$\displaystyle \lim_{ h \to \infty }|h|⇒\displaystyle \lim_{ h \to \infty }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-L<ε$(微分)
$|x-a|=h$と置き換えれば微分の構成式に見えます。
以上より、微分は連続性よりも満たすべき拘束条件が多い※ですが、微分を含意している、と言えます。
※分母hと分子f(a+h)-f(a)の関係が拘束されてる。微分はオーダーで拘束されてる。
包含関係は
微分可能⊂連続
従って、微分可能なら連続です。
微分可能性と非連続性
$y=|x|$は$x=0$で連続ですが、微分できません。
実際にx =0近傍は
$\frac{|x|}{h}$となり、絶対値の性質上は1と-1があり得ます。
収束の定義を満たしません。
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