ベクトルをやってたはずが…思考が飛びまくり。
また迷子。
微分と連続性
連続性はε-∂論法で定義される。
それの厳密な定義は極限によって定式化さる
$\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる：
任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$
微分の定義
微分可能
$\lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = f'(a)$
微分⇒連続性
微分の定義式
${\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{h}}=f'(a)$(微分)
$x-a=h$(仮定)
$\displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$(微分定義)
$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)-f(a) = f'(a)\cdot x-a$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x)-f(a)=0$(極限)
$\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x)=f(a)$(加法逆元)
微分の定義は連続の定義へ変更できます。
微分⇒連続(含意導入)
微分⊂連続(部分集合)
微分可能は連続の部分集合です。
連続の定義はε-δ論法である
「$\displaystyle \lim_{ x \to a } $」
はxがaに限りなく近づくことなので、「任意の0<δを選んでもそれより先にさらに小さなxの列がある」と言い換えられます。つまりε-δ論法の前件部分を構成しています。
「$f(x)=f(a)$」
は
$f(x)-f(a)=0$(加法逆元)
$f(x)-f(x)=0<∀ε$(加法律)
と言い直せます。つまり「f(x)-f(a)が任意の0<εより小さい」となります。
全体的にさらに綺麗に言い直して
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$
定義式の比較
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x+h)-f(x)<ε]$
微分は関数のグラフ上の点と点の間の「変化率」を見ます。
ε-δは関数がある点に近づいていく「性質」を見ます。
もっと直感的には「グラフに直線が引けるのが（微分）」。
「変化率」を見るのか「性質」を見るのか、が微分と連続性の差です。
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$
論理的には
微分可能⇒連続
は真
連続⇒微分可能
は偽
微分可能は連続の十分条件であり、連続は微分可能の必要条件です。
集合論的には
微分可能⊂連続
微分可能は連続の部分集合です。
微分不可能な連続
微分は変化の速度がある値a>0に収束することが要請される分だけ連続性よりも制約条件が多くなります。
連続⇒微分可能
の反例を挙げます。
$y=|x|$は$x=0$で連続ですが、微分できません。
実際にx =0近傍は
$\dfrac{|x|}{h}$となり、右側からの微分と左側からの微分で結果が異なります。
収束の定義を満たしません。
他にも
$\dfrac{x}{x-1}$
はx=1の場合の部分に穴が空きます。分母が０の除法は定義されていないからです。
分母が0の割り算（ゼロ除算）は、通常の数学では定義されず、計算不能（エラー）になります。
Gemin
連続は微分可能の必要条件です。
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