$\sqrt{x}$の導関数と微分係数の不連続と関数の不連続

$\sqrt{x}’$

$\sqrt{x}’$

微分の定義式から導出

$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{a+h} – \sqrt{a}}{h}$(微分)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{(\sqrt{a+h} – \sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(展開公式)
h$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$(加法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+0}+\sqrt{a}}$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{2\sqrt{a}}$

導関数から

n次式の導関数は$((x^n)’ = n x^{n-1}$と一般化できます。
次数が前に降りてきて指数に-1します

復習
$x=x^{1}=x^{\frac{1}{2}\cdot 2}$
$(x^{\frac{1}{2}})^{2}$(指数法則)
二乗して$x$になる数なので$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$です。…①

$\sqrt{x}’=(x^{\frac{1}{2}})’$(①)
$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$(導関数)
$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$(分数加法逆元)
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$(指数法則)

０で微分不可能

$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{0+h} – \sqrt{0}}{h}$(仮定)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt{h}}{h}$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h}}$(乗法逆元)
$\infty$(極限)

一瞬「は？」と思いました。

「√xはx≠0の時は導関数が導出できるのに、x=0の時は無限に発散するのが気持ち悪い。定義上そうなるのは理解できるが、0の時だけ関数の挙動が変わるわけがない」と直感的に感じてしまったからです。

ただし、この直感は勘違いでした。
傾きが垂直になったことを「関数の連続性が失われしまった」と勘違いしてしまいました。

つまり、よくよく考えてみれば関数の連続性が失われたのではなく、下のグラフのように、0付近まで限りなく近づいた場合は「傾きが垂直に近づく」ことを意味していただけでした。