加法定理の証明

加法定理の導出

余弦定理

余弦定理より、線PQの長さを求めます。
$PQ^{2}=OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos (α-β)$(余弦定理)
$=1^{2}+1^{2}-2OP\cdot OQ\cos (α-β)$(単位円の半径を代入)…①

ベクトルの演算

次はベクトルの減法とノルム(三平方の定理)に図形を翻訳。
$PQ^{2}=(\cos β – \cos α)^{2}+(\sin β – \sin α)^{2}$(ベクトル減法とノルムと平方根)
$=(\cos^{2} β-2\cos β\cos α + \cos^{2} α)+(\sin^{2}β -2 \sin β \sin α+\sin^{2} α )$(展開法則)
$=(\sin^{2} α +\cos^{2} α)+(\sin^{2} β +\cos β)-2 \sin α \sin β- 2(\cos α\cos β$)(結合・交換法則)
$1+1-2( \sin α \sin β+\cos α \cos β)$(単位円と三平方の定理と分配法則),,,②

①=②なので
$\cos (α-β)=\sin α \sin β + \cos α \cos β$
となります。

加法定理に一つが証明されました。

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