微分と連続性

ベクトルをやってたはずが…思考が飛びまくり。

また迷子。

微分と連続性
1. 微分⇒連続性
2. 連続の定義はε-δ論法である
定義式の比較
微分不可能な連続

連続性はε-∂論法で定義される。

それの厳密な定義は極限によって定式化さる

$\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる：

任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：

∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$

ウィキペディア

微分の定義

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$
wiki

微分⇒連続性

微分の定義式
${\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{h}}=f'(a)$(微分)

$x-a=h$(仮定)
$\displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$(微分定義)
$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)-f(a) = f'(a)\cdot x-a$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x)-f(a)=0$(極限)
$\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x)=f(a)$(加法逆元)
微分の定義は連続の定義へ変更できます。

微分⇒連続(含意導入)
微分⊂連続(部分集合)
微分可能は連続の部分集合です。

連続の定義はε-δ論法である

「$\displaystyle \lim_{ x \to a } $」
はxがaに限りなく近づくことなので、「任意の0<δを選んでもそれより先にさらに小さなxの列がある」と言い換えられます。つまりε-δ論法の前件部分を構成しています。
「$f(x)=f(a)$」
は
$f(x)-f(a)=0$(加法逆元)
$f(x)-f(x)=0<∀ε$(加法律)
と言い直せます。つまり「f(x)-f(a)が任意の0<εより小さい」となります。

全体的にさらに綺麗に言い直して
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$

定義式の比較

∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x+h)-f(x)<ε]$

微分は関数のグラフ上の点と点の間の「変化率」を見ます。
ε-δは関数がある点に近づいていく「性質」を見ます。

もっと直感的には「グラフに直線が引けるのが（微分）」。

「変化率」を見るのか「性質」を見るのか、が微分と連続性の差です。
∀$\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]$

論理的には
微分可能⇒連続
は真
連続⇒微分可能
は偽

微分可能は連続の十分条件であり、連続は微分可能の必要条件です。

集合論的には
微分可能⊂連続
微分可能は連続の部分集合です。