集合の相等関係と部分集合の法則

股関節おじさんの勉強部屋

2023.01.062023.02.27

集合はモノの集まりと素朴には定義されます。
集合と集合の間には足したり引いたりの演算が定義されています。
和集合に差集合、共通部分に補集合といったものです。
これは前回やりました。

今回は集合の演算を定義することで必然的に導き出される集合の定理（性質）を見ていきます。

部分集合と相等関係
1. 部分集合の定義
2. 相等関係の定義

部分集合と相等関係

部分集合の定義

復習になりますが部分集合の定義。

【部分集合】
集合 A の要素はすべて集合 B の要素でもあるとき、すなわち、
${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)}$
が成り立つとき、A は B の部分集合であるといい、
$\displaystyle A\subseteq B$
で表す
Wikipedia

この部分集合の式から
$A \subseteq B \land B \subseteq A \rightarrow A = B$
を導いてみます。
AがBの部分集合かつBがAの部分集合なら、AはBと等しいって意味です。
考えるまでもなく当然な気がしますが一応、自分の論理性を鍛える為に証明に挑戦していきます。

相等関係の定義

そう思って素朴集合論の「相等関係」の厳密な定義をネット探したのですが見つからず。
バートランド・ラッセルが集合論の矛盾を導くまでは集合論は曖昧な定義で議論していたってことなんで、$A \subseteq B \land B \subseteq A$ならAとBは等しいんじゃね？って直観的にやってたのかもしれません。
とりあえず、これ以上探すのは面倒なのでそうだったのだと解釈してしまいます。
現代の集合論には相等関係が厳密に定義されています。

【外延性の公理】
A, Bを任意の集合とするとき、もし任意の集合Xについて「XがAの要素であるならば、そのときに限りXはBの要素である」が成り立つならば、AとBは等しい。すなわち、
$\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\Rightarrow A=B)$
Wikipedia

この定義は「Aのどの元XをとってきてもBの元と対応している場合、A＝B」って言いたいのだと思います。
疑問はどうして任意の元ではなく、”集合X”なのかってこと。
「Aの元かつBの元となるx…」ではだめなの？

少し考えてみたのですが、もしかして「空集合」を含めたいからか？と頭に浮かびました。
Aの「任意の元x」と定義してしまうと、仮にAとBが元を持っていない集合だった場合、定義に従って相等関係は満たさないと言わなければなりません。元がないので選びようがないから。
AとBは空集合なので中身は一見すると同じ。
だけど、等しくないとなってしまったら僕達の直感と矛盾します。
それを防ぐために”元X”と置いたのではないかと。
とりあえずこの解釈で納得してしまって進めます。

【空集合】
いかなる元も持たない集合を空集合といい、${\displaystyle \varnothing ,\;\emptyset ,\;\{\}}$などと書く。このうち初めの2つは、ブルバキが数学原論の最初の巻『結果の要約』(fascicule de résultats, 1939年、日本語版：集合論要約) で Ø を用いたのが始まりである
Wikipedia

閑話休題。
本題へ戻ります。
$A \subseteq B,B \subseteq A \rightarrow A = B$
を外延性の公理を満たすように変形してみます。
仮定でAはBの部分集合でBはAの部分集合だと言っています。

【部分集合】
集合 A の要素はすべて集合 B の要素でもあるとき、すなわち、
${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)}$
が成り立つとき、A は B の部分集合であるといい、
${\displaystyle A\subseteq B}$
で表す。
Wikipedia

$A \subseteq B \land B \subseteq A = {\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)}\land {\displaystyle \forall x(x\in B\rightarrow x\in A)} $

僕が証明して確かめたわけではないですが、Wikipediaによれば下の変形が成立するようです。

【論理包含の法則】
$\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\rightarrow (P\Leftrightarrow Q)$
Wikipedia

これをつかって
${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)}\land {\displaystyle \forall x(x\in B\rightarrow x\in A)} = {\displaystyle \forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)} = (A = B)$

仮定の論理式はは外延性公理を満たしていますことが証明できました。
当然、仮定を満たすような元を集めた集合から任意の集合A,Bをとってくるのだから、$A = B$は満たされます。
我流なので、これで正しい証明なのか不安が残りますが、気にせず次に進んでいきます。