行列勉強してたら脱線。微粉。
ざっと定義式の構成を学んだら使ってみたくなるのが男の性。
ベクトル→運動→時間微分→運動量とエネルギーが気になる…
物理と微分
力
運動量 p はニュートンの運動方程式、
$\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)$質点の運動量は、質点の速度に比例する。質点の運動量は、質点の速度を v と表し、比例係数を m とすると、
$\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$
で与えられる。
例えば物体の運動について、ある時刻t1における物体の位置ベクトルをx1、時刻t2のときの物体の位置ベクトルをx2とすると、この時間区分における物体の平均速度
$\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}={{{\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}}_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$
エネルギーで、ニュートン力学で
$\displaystyle K({\boldsymbol {p}}):={\frac {\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}\!\!}{2m}}\,{\overset {{\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}{=\!=}}\,{\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$
運動量の時間微分が力。運動量は速度の質量(スカラー)倍。瞬間速度は位置ベクトルの時間微分。
つまり、位置ベクトルの時間の二階微分の質量倍が力。
ウィキペディアの定義式を見た時の直感的な疑問。
「運動エネルギーはスカラー量のはず。であるなら速度ベクトル$\boldsymbol{v}$は$\|\boldsymbol{v}\|(ノルム)$で表記されるべき」。
理由をAIに質問。
運動エネルギーの定義は、力 $\mathbf{F}$ と微小変位 $d\mathbf{r}$ の内積の積分から導かれます。
この計算の結果、現れるのは $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$ という**「自分自身との内積」**です。
補足
コーシー・シュワルツ不等式で利用した定理
$⟨\boldsymbol{A,B}⟩=\|A\|\|B\|cosΘ$
用いて
$⟨\boldsymbol{v,v}⟩=\|x\|\|x\|cosΘ$
また、同じベクトル同士のなす角は$cos0=1$(弧度法)
$⟨\boldsymbol{v,v}⟩=\|x\|\|x\|･1$
$v^{2}$
ベクトルの世界において、自分自身との内積は自動的に「ノルムの2乗（ $\|\mathbf{v}\|^2$ ）」になります。(補足)
なぜ記号を省くのか： 物理学の慣例として、ベクトルの太字（$\mathbf{v}$）ではない普通の文字（$v$）で書く場合、それは「ベクトルの大きさ（ノルム）」を指すという暗黙の了解があるためです。
ということらしいです。ややこしい。
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