微分と物理 | 長濱陸のブログ

微分と物理

数学とか

2026.03.222026.06.19

物理学の作法。
同じベクトルの内積なんだから、後は言わなくても分かるよな？

知ってたから聞けば「そっか」だけど。初学者殺し。今はAIが直ぐに教えてくれるけど。

定義式を見れば、エネルギーと運動量の違いは明らか。エネルギーはスカラー量。向きは定義されない,

また、運動エネルギーを速度微分すると
$\frac {1}{2}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$(運動エネルギー)
$\dfrac{d}{dv}\dfrac{1}{2}mv$(微分)
$\dfrac{1}{2}･2mv$(展開法則)
$mv$(乗法逆元)
運動量が現れる。

微分は積分の逆演算。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$
AI

式の構成としては、t(時間)で微分したもの(直線)を、aからxまで積み上げたものが積分。すなわち、面積が積分。

物理的には、
時間aからxまでの瞬間の速度(加速度)ベクトルを合成(積分)してしたものが速度ベクトル。

その速度ベクトルを合成したものが位置ベクトル。

逆に遡るのが微分。

微分は対象を分解、積分は対象を(再)構成すること。

エネルギーは力を蓄積させたもの。
運動量は力を時間で積分したもの。

力を累積(積分)させたのが運動エネルギー。
運動エネルギーは力を距離で積分。

運動量はどれだけ勢いがあるか(ベクトル)。
エネルギーはどれほど仕事(※)をこなせるか(スカラー)
※動かしたり変形させたり

エネルギーの誤用

方向があるのが運動量。エネルギーにはそれがない。

何かを閉じ込めているようなイメージ。どの程度の仕事をこなせるのかの量。だからポテンシャル。

「あの人には負のエネルギーがある」
定義より、エネルギーには方向はない。負の方向がない。そもそま$v^{2}$だから負にならない。

内向きのエネルギーも外向きのエネルギーも誤用。