三平方の定理と弧度法

半径1の単位円で作る直角三角形の比は
$1^{2}=sinΘ^{2}+cosΘ^{2}$(三平方の定理と弧度法)
$sinΘ^{2}=1^{2}-cosΘ^{2}$(加法逆元)
$sinΘ^{2}=1-cosΘ^{2}$(1のべき乗)…①

外積のノルム

ラグランジュ恒等式より
$\|x×y\|^{2}=\|x\|^{2}\|y\|^{2}-⟨x,y⟩^{2}$(ラグランジュ恒等式)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}-(\|x\|\|y\|cosΘ)^{2}$(余弦定理とと内積)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^{2}cosΘ^{2}$(指数法則)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}(1-cosΘ^{2})$(分配法則)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}sinΘ^{2}$(①)
$\|x×y\|^{2}=\|x\|^{2}\|y\|^{2}sinΘ^{2}$(同値関係)
$\|x×y\|=\|x\|\|y\|sinΘ$(根号)

外積のノルムはsinと外積を構成するのベクトルのノルムで求められる。

並行なベクトルの外積

$\boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}$(仮定)
$\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{y}$(仮定2)
$\boldsymbol{x}×a\boldsymbol{y}$(外積)
$(x_{2}ay_{3}-x_{3}ay_{2})+(x_{1}ay_{3}-x_{3}ay_{1})+(x_{1}ay_{2}-x_{2}ay_{1})$(外積)

仮定より
$x_{1}=ay_{1}$
$x_{2}=ay_{2}$
$x_{3}=ay_{3}$
よって
$\boldsymbol{x}×a\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$

並行なベクトルの外積は0ベクトル。
垂直なベクトルの内積は0ベクトル。

この性質はAIのように意味の判定を外積内積で判定できるから便利。

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