超越数の濃度を考えます。

無限という概念のイメージと面白さ掴むことが目的なので、ひとまず単純化にしていますので悪しからず。

可算無限の濃度

可算無限集合はいくつ合わせても可算無限です。

証明
自然数=可算無限
偶数=可算無限
奇数=可算無限
自然数=奇数+偶数=可算無限

$ℵ_{0}:可算無限,ℵ_{1}:非可算無限$
$ℵ_{0}+ℵ_{0}=ℵ_{0}$…①

代数的数は可算無限です。

非可算無限の濃度

次は非可算無限の濃度です。

$ℵ_{0}<ℵ_{1}$…②
これは以前の記事で導出しました。

超越数+代数的数=実数(定義)
これから超越数の濃度を考えます。

まずは
$ℵ_{1}+ℵ_{0}=ℵ_{1}$
を証明します。

証明
$ℵ_{0}+ℵ_{1}=ℵ_{0}$(仮定)
$ℵ_{1}=-ℵ_{0}+ℵ_{0}$(加法逆元)
⊥(①と矛盾)
$ℵ_{1}=ℵ_{1}+ℵ_{0}$(背理法)

-可算無限+非可算無限=非可算無限…③
が証明されました。

以上を用いて超越数の濃度を求めます。
超越数+代数的数=実数(定義)
超越数=-代数的数+実数(加法逆元)
③より、「-代数的数+実数=非可算無限」です。
よって
超越数=非可算無限集合(非可算無限)

②より
代数的数<超越数
が証明されます。

超越数の方が代数的数より数が多い。

頭では理解できます。だけど心が拒否します。直観に反します。

理由は分かりません。ただ、とにかく違和感凄いのです。

違う、そうじゃない。