命題論理定理シリーズやっていきます。
今回は選言的三段論法。
(A∨B)∧¬A→B
(¬A∨B )∧A→A
選言的三段論法
定義
選言三段論法（せんげんさんだんろんぽう、英: Disjunctive syllogism）とは、論理学において、「大前提」を選言命題（選択肢を持った命題）にし、「小前提」でその選択肢に対する肯定・否定を行なうことで、「結論」を導く形式の三段論法のこと[1]。選言的三段論法とも。
Wikipedia
次に挙げるような妥当な演繹の論証形式の一種。
Pであるか、またはQである
Pでない
したがって、Qである
論理演算の記法では次のようになる。
$\displaystyle P\lor Q,
\lnot P
\displaystyle \vdash Q$
証明
1.[(A∨B)∧¬A](仮定)
2.A∨B,¬A(∧除去)
3.[A](仮定)
4.A∧¬A(∧導入)
5.⊥
6.B(矛盾除去)
7.A→B(→導入)
8.[B](仮定)
9.B
10.B→B(→導入)
11.B(∨除去)
12.(A∨B)∧¬A→B(→導入)
2行目の∧除去の後は¬AとA∨Bの2路線に分かれて、後で合流するって演繹なので混乱するかもしれません。12行目は二手に別れたのを合流させています。
「AまたはBで、AではないならばB」
1.[A∧(¬A∨B)](仮定)
2.[¬A](仮定)
3.A(∧除去)
4.⊥
5.B(矛盾除去)
6.¬A→B(→導入)
7.[B](仮定)
8.B
9.B→B(→導入)
10.¬A∨B(∧除去)
11.B(∨除去)
12.A∧(¬A∨B)→B(→導入)
1.[A→B](仮定)
2.[¬(¬A∨B)](仮定)
3.¬¬A∧¬B(ド・モルガンの法則)
4.¬¬A(∧除去)
5.A(二重否定除去)
6.B(→除去)
7.¬B(∧除去)
8.B∧¬B(∧導入)
9.⊥
10.¬¬(¬A∨B)(背理法)
11.¬A∨B(二重否定除去)
12.(A→B)→(¬A∨B)(→導入)
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