加法定理の証明　その二　$\sinα cosβ+\cosα\sinβ $

加法定理

上の直角三角形は
$\cos(θ)=\frac{x}{1}=x$
$\sin(θ)=\frac{y}{1}=y$
$\tan{θ}=\frac{y}{x}$

余角の公式

直角三角形の角は$θ$を決定すると、必然的に余角が決定します。
$θ+\frac{π}{2}+(\frac{π}{2}-θ)$
余角$\frac{π}{2}-θ$に着目すると
$\cos(\frac{π}{2}-θ)=\frac{y}{1}=y$
$\sin(\frac{π}{2}-θ)=\frac{x}{1}=x$
$\tan(\frac{π}{2}-θ)=\frac{x}{y}$
となり、xとyが入れ替わります。

加法定理

その１で証明した
$\cos (α-β)=\cos α \cos β + \sinα \sinβ$…①
を用います。

$\sin(α+β) =  \cos(\frac{π}{2}-(α+β))$(加法定理と余角の定理)
$\cos((\frac{π}{2}-α)+β)$(結合法則)
$=\cos(\frac{π}{2}-α)cosβ+\sin(\frac{π}{2}-α)\sinβ$(①)
$\sinα cosβ+\cosα\sinβ $

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加法定理の証明　$\cos (α-β)=\sin α \sin β + \cos α \cos β$

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2026.10.28