命題論理と自然演繹の仮定について復習も兼ねて現時点での僕の概観をまとめていきます。
数学や論理学は「仮定」や「これだけは正しいと認めてしまおう」と歴史的に合意されたある公理に「これだけは正しいと認めてしまおう」と合意された変形（推論）の規則を適用して、元々の形を別の形に同値変形させ、元のそれとは異なる解釈を与えられるようにしている、と現時点では理解しています。なので仮定を理解するのは大切です。
閉じた仮定と開いた仮定
閉じた仮定から
ざっくりとした理解をつらつらと書きます。
含意の導入規則を適用する場合、仮定となるAは解消されます。
慣習として[A]と表現されます。
1.[A]（仮定）
2.B（演繹された結論）
3.A→B（→導入）
Aを仮定し、推論規則に従った同値変形を繰り返しBを演繹できたなら、仮定のAを解消しA→Bと結論することができます。
この場合は仮定のAと結論のA→Bは切り離されています。つまり、仮定のAは→導入規則によって解消され、使い方が正しいかは分かりませんが、所謂定理として振る舞います。
他の例も。
1.[A→(B→C)]（仮定）
2.[A]（仮定2）
3.B→C（→除去）
4.[B]（仮定）
5.C（→除去）
6.A→C（→導入）
7.B→(A→C)（→導入）
8.A→(B→C)→B→(A→C)(→導入)
途中で導入した仮定のAとB、A→(B→C)は解消され
A→(B→C)→B→(A→C)
は仮定なしでも成立します。
2の3乗通りなので、一応確認してみます
| A | B | C | A→(B→C) | B→(A→C) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
前提A→(B→C)が真なら結論も真を満たす妥当な推論です。
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