論理積と論理和の分配法則　その2

論理積と論理和の分配法則

その1の続き。

論理積と論理和の分配法則 その1

今回はA∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)の分配法則です。 論理積と論理和の分配法則 前回と同じ戦略です。 証明 1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導...

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2023.06.16

証明

(A∨B)∧(A∨C)→A∨(B∧C)
の同値変形を目指します。

1.(A∨B)∧(A∨C)
2.A
3.A∨(B∧C)(∨導入)
4.A→A∨(B∧C)(→導入)
5.[B],C
6.B∧C(∧導入)
7.A∨(B∧C)(∨導入)
8.B→A∨(B∧C)(→導入)
9.A∨B,A∨C(∧除去)
10.A∨(B∧C)(A∨Bの∨除去)
11.C→A∨(B∧C)(→導入)
12.A∨(B∧C)(A∨Cの∨除去)
13.A∨(B∧C)∧A∨(B∧C)
14.A∨(B∧C)(冪等律)
15.(A∨B)∧(A∨C)→A∨(B∧C)(→導入)

A∨B,A∨Cを同じ形に変形し、最後に論理和除去で結論です。

一応は推論規則に違反しない形だとは思います。
5行目のBが含意導入によって解消された後で、その仮定を元に演繹したB∧Cを命題変数として利用してるのが気持ち悪いんですねどね。
まあ、Bは解消されたけどB∧Cは生きているってことでいいのかなと思います。とりあえずこの理解で進めます。