複利運用

複利の計算式はがネイピア数である。

元本Pを年利rの複利でt年間運用した場合の元利の合計Sは
$S=P･e^{rt}$…#
となります。

元本1万円を5%で10年運用したら
16487.212707001281468486507878141635716537円。

証明

超高速高頻度複利運用を想定します。

複利運用の計算式は
$S=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$…②
()内は預金の出し入れ回数nで年利を分割したもの。それのt年×n回倍が複利。

年利rをn分割なので
$\dfrac{r}{n}$
分数は比率なので、分子を1として、意味を変えずに変形でにます。
$\dfrac{r}{n}=\dfrac{1}{m}$(比率)
$\dfrac{n}{r}=m$((乗法逆元))
$n=rm$(乗法逆元)…③

②に③を代入。

$S=P(1+\frac{r}{mr})^{mrt}$(複利定義)
$P((1+\frac{1}{m})^{m})^{rt}$(指数法則)
$Pe^{rt}$(ネイピア数定義)

#が導出できました。

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