フェルマーの停留点定理
極値
n 次元ユークリッド空間 (Rn, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる[注 2]。 関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point[1]）という。この条件は論理式を用いると
$\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]$
と表せる[注 3]。
フェルマーの停留点定理は「微分可能」かつ「極値」ならば、「関数f(x)の傾きは０」になることを保証します。
証明
qを定義域の要素、pを最小点だと仮定します。
$f(p)≦f(q)$(極小値)
$0≦f(q)-f(p)$(加法逆元)…#
#より
$0≦\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(q)-f(p)}{h}$(乗法律と乗法逆元)
$p-q=h$と仮定してhを極限で0へ飛ばし、qをpへ限りなく近づけます。
「正×正の法則」と命題の仮定である「極小値である」から、微分を取ると傾きが０以上に収束することが示されました。
$0≦\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(q)-f(p)}{h}≦0$(微分)…①
また、「微分可能」である為、$f (x)は$両側から近づくことができます。上記のとは逆方向から近づいていきます。
また仮定より、「微分可能である」ことから、その場合の傾きは①一致するはずです。
$f(p)≦f(q)$(極小値)
この場合は
$p-q=h$と仮定します。
上記のと同様の方法で微分を構成します。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(p)-f(q)}{h}≦0$
微分を取ると傾きが０以下に収束することが示さレました。
仮定より、「傾き」は①と②を同時に満たす必要があります。
それは共通部分である「0」のみです。
以上より微分値（傾き）は０であることが示されました。
確か「代数的数の濃度」を解決したかったんです。興味が飛び移って、結果的に微分に。毎回この強烈な微分への引力を感じます。
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