大小関係の雰囲気

股関節おじさんの勉強部屋

2023.10.092023.10.10

まだ論理学の範疇をウロウロしてる段階ですが、参考にしている本の中で大小関係の説明があったので、その文脈で大小関係を僕が解釈できるか挑戦します。

大小関係の雰囲気だけ
1. 加法とし大小関係
2. 定義

大小関係の雰囲気だけ

加法とし大小関係

本の中では下のような論理式で定義されています。

3>1⇔∃x(1+x=3)

翻訳すると

「『3大なり1』とは、1に足して3になるような数が存在すること」

∃x(1+x=3)が演繹図に現れたら、3>1を演繹して良いと。

1.1+x=3(仮定)
2.x=2(仮定)
3.1+2=3(代入)
4.3=3(加法定義)
5.∃x(1+x=3)(∃導入)
6.3>1(>導入)

6行目は正式な定義ではなく、参考書の定義通りに演繹しました。
とりあえずは大小関係の雰囲気は感じられました。

実際にはどんな定義なのか確認。

定義

前順序、半順序、全順序を順に定義するために、まず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。
反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
≤」が全順序律を満たさない場合、「a ≤ b」でも「b ≤ a」でもないときがある。このとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
Wikipedia

反射率から翻訳します。

≤に意味を与える文言なので、既知の≤の観念と混同すると混乱します。まだ≤に意味はありません。

「反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。」

同じ記号(集合の元)の間に成り立っている関係。
長濱陸と長濱陸の間には≤が成り立ちます。

脳が勝手に=という解釈を連想して邪魔してきますが、その解釈とは無関係です。

「推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。」

脳が又しても解釈を与えようとしますが無視。
3つの元の間に成り立つ、モヤモヤっとした、とある関係のことで、脳内に保存された既知の大小関係の観念とは無関係です。

「反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。」

同値関係が成り立つこともある関係。今この定義により、1つ目の定義に意味が与えられた観。

「全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。」

２つの元に対しては必ず成り立つ関係で、実数や自然数のような集合には大小関係が定義できるよってことなのかな。

P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする。
≤ が反射律と推移律を満たすとき、≤ を P 上の前順序（英語版） (preorder) または擬順序 (quasiorder) という。
≤ が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、≤ を P 上の半順序 (partial order) という。
≤ が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、≤ を P 上の全順序 (total order) という。
Wikipedia

Wikipediaで見つからなかったのでWIISから>の定義を引用します。