外積のノルム

三平方の定理と弧度法

半径1の単位円で作る直角三角形の比は
$1^{2}=sinΘ^{2}+cosΘ^{2}$(三平方の定理と弧度法)
$sinΘ^{2}=1^{2}-cosΘ^{2}$(加法逆元)…①

外積のノルム

ラグランジュ恒等式より
$\|x×y\|^{2}=\|x\|^{2}\|y\|^{2}-⟨x,y⟩^{2}$(ラグランジュ恒等式)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}|-(\|x\|\|y\|COSΘ)^{2}$(余弦定理とと内積)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^{2}COSΘ^{2}$(指数法則)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}(-1-COSΘ^{2})$(分配法則)
$\|x\|^{2}\|y\|^{2}sinΘ^{2}$(①)
$\|x×y\|^{2}=\|x\|^{2}\|y\|^{2}sinΘ^{2}$
$\|x×y\|=\|x\|\|y\|sinΘ$(指数一意性)

外積のノルムはsinとベクトルのノルムで求められる。

並行なベクトルの外積

$\boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}$(仮定)
$\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{y}$(仮定2)
$\boldsymbol{x}×a\boldsymbol{y}$(外積)
$(x_{2}ay_{3}-x_{3}ay_{2})+(x_{1}ay_{3}-x_{3}ay_{1})+(x_{1}ay_{2}-x_{2}ay_{1})$(外積)

仮定より
$x_{1}=ay_{1}$
$x_{2}=ay_{2}$
$x_{3}=ay_{3}$
よって
$\boldsymbol{x}×a\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$

並行なベクトルの外積は0ベクトル。
垂直なベクトルの内積は0ベクトル。

AIのようにベクトル（相対的に意味を説明させるなら、意味の判定を外積内積で判定できるから便利。