上の導出をやってしまえば雰囲気で思い出せる忘れるとは思いますが、外積は一次元ベクトルの乗法とはややイメージが異なるので、混乱しそうになります。
外積
エピソード記憶
外積は任意の二つのベクトルと直交(内積0)するベクトルを生成すること、だけなら簡単に覚えておける
$(\boldsymbol{x}×\boldsymbol{y})･\boldsymbol{x}=0$
$(\boldsymbol{x}×\boldsymbol{y})･\boldsymbol{y}=0$
ここから上の記事の導出(エピソード記憶)が自動再生されることに期待するパターン。
名前から連想
あるいはクロス積、外積という名前から連想。
外積の規則だけを見るなら、それは要素の外側を”クロス(外)積”しています。
三次元の基底から連想
もしくは三次元の基底から
$x=(1,0,0),y=(0,1,0)z=(0,0,1)$
$x×y=z$
という演算を成立させる規則を逆算する。
下の規則が成り立つ必要がある。
$\boldsymbol{x×y=z}$
$\boldsymbol{z}=(1･0,0･1,1･1)$
上の組み合わせを基底ベクトルx,yを用いて導くなら…という連想。
zの1次元は
$x_{2}･y_{3}-x_{3}･y_{2}$
$0･0-0･1=0$
$(0,-,-)$
つまり、ベクトルzの要素1の”外”側のを”クロス”積して引く。
ベクトルzの要素2なら、はの外側はをクロスして
$1･0-0･0=0$
$(0,0,-)$
ベクトルzの要素3なら
$1･0-1･1$
$(0,0,1)$
次はy,zの基底に直交するxが導出できるか？
y=(0,1,0),z=(0,0,1)
“外”積からxの第一成分を構成するのは2,3と連想、外積またの名を”クロス”積から、Xを連想。
yの第二成分とzの第三成分で構成させる
1･1-0･0=1…①
がxの基底の第一成分。
同様に基底xの第二成分は
0･0-1･0=…②0
第三成分は
0･0-0･1=0…③
よって
x=(①,②,③)=(1,0,0)
垂直なベクトルの作り方
任意のベクトルと垂直なベクトルを作る。
テキトーに$\boldsymbol{x}=(1,2,3)$と垂直なベクトルを作ることをかんがえる。
これむたテキトーに$\boldsymbol{y}=(3,2,1)$と置く。
外積
$(2･1-2･3,3･3-1･1,1･2-3･2)$
$\boldsymbol{z}=(-4,8,-4)$
念の為に外積の定義を満たすのか確認。
$⟨x,z⟩=1･-4+(2･8)+(3･-4)$
$=-4+16-12=16-16=0$
外積の定義を満たします。
次は$y$に\boldsymbol{x×y}の内積。
1と3を入れ替えただけの結果が導かれるだけなのど、$\boldsymbol{y}×に対しても$\boldsymbol{x×y}$は外積の定義を満たします。
外積の向き
上記の基底
$x=(1,0,0),y=(0,1,0)z=(0,0,1)$
次は$y×z$。
$(1･0-0･0,0･1-0･0･0,0-1･1)$
$(0,0,-1)$
行列の順番を入れ替えると向きが逆になりました。
外積の限界
ここでふと、「二次元空間を二つの基底で説明できそうじゃね？」と。
つまり、「ax+by+c(x×y)」で三次元の情報を二次元圧縮でにるんじゃね？ってこと。
意気揚々とAIに質問したら、
AI「はいはいワロタ、スカラーcを式に組み込んだ時点で、それは三次元だからwww」
俺「ぐぬぬ…」
この悔しさを晴らす為に、こいつ説き伏せる暴論をこれから考えます。
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