視点を変える
虚数は実数とは異なり実部と虚部二次元で構成される、二つで一つの数です。
現時点では、例えばある平面上での二つの物体の衝突が、回転や熱などのように、顕在化している基底とは異なる軸に飛び出したりする場合に役に立つのかな、と思っています。
ヒトの目には二次元に見える情報が、物理的には一つの情報を別の角度から見ているだけだったり。
例えば、光の強さという一つの物理的な情報が、「床の影の形」や「濃さ」という二つの異なる次元で構成されてるとか、「エネルギー」と「哲学の可能性」が同じものに見えるとか、「無」と「無限」が同じものに見えるとか。
別々の概念に見えるのだけど、根では繋がっている、とか、認知的には二次元、三次元なんだけど、物理的には三次元、四次元とか。
オイラーの等式は、ネイピア数と虚数、円周率、始まりの1が0と同値であることを示しています。すなわち0に一般的な0の解釈とは異なる視点を提供しています。
それは視点を変えると0に見てたり、-1に見えたり$e^{iπ}$に見えたり。
ひとまずはこんな理解です。
ヒトの認識空間にいては二つの要素で構成されているのだけど、物理的にはそれらは同一。同じ物体の別の側面であるということは往々にしてあると思います。
仮にそうだとするなら、二行二列の行列は複素数に見える、と感じました。
その直感をaiに質問してみました。
行列と複素数
二行二列の行列を複素数と仮定してみます。
$x=f(a+bi)=\begin{pmatrix}a&-b \\b & a\end{pmatrix}$(仮定①)
この仮定が複素数が満たしていてほしい性質を満たすことを示します。
上の仮定①の加法の相手方を仮定します。
$y=f(c+di)=\begin{pmatrix}c&-d \\d & c\end{pmatrix}$(仮定)
行列の加法はWIISを参照。同じ大きさの行列の同じ成分を足すだけです。
最終目標は、複素数だと仮定した行列①の行列加法の結果と、そのまま複素数として加法した結果が、論理的に同値であることを示すことです。
つまり、複素数空間と行列空間の+,×の挙動が同じなら、それらは「『数』という対象」を見る為の手法が異なるだけである、と主張する戦略です。
$f(x+y)=f(x)+f(y)(仮定②)$
であることを証明できれば、複素数空間と行列空間の加法が同じだと言えます。
上の仮定①が成立するなら②が成立することを示します。
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