複素数と行列

加法

まずは複素数の加法
$(a+c)+i(b+d)$(複素数加法と分配法則)
単純に実部と虚部を別々に足すだけです。

そして結果を②f(x)で行列空間へ送ります。

$f((a+c)+i(b+d))=\begin{pmatrix}(a+c)&-(b+d)\\(b+d)&(a+c)\end{pmatrix}$(仮定①より)…#1

次は別々に行列空間へ送ってから足します。
$f(a+ib)+f(c+id)$(仮定)
$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}$(仮定①)
$\begin{pmatrix}(a+c)&-(b+d)\\(b+d) &(a+c)\end{pmatrix}$(行列加法)
#1と同値になりました。

つまり、複素数を①のような行列と仮定すると複素数の加法が常に成立します。

次は乗法。