複素数と行列 | 長濱陸のブログ

乗法

同様の方法で乗法が成立するのかを確認します。

複素数の乗法
$(a+bi)(c+di)$(複素数)
$ac+adi+cbi+bdi^{2}$(乗法展開)
$ac+adi+cbi-bd$(虚数の二乗)
$(ac-bd)+i(ad+bc)$(交換法則と分配法則)…#2

次は行列の乗法が#2と同値になるかを確認します。

行列の乗法は列と行の要素をかけます。

複素数を行列に変形し、行列の乗法。
$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}$(①より)
$\begin{pmatrix}(ac-bd)&-(ad+bc)\\(ad+bc)&(ac-bd)\end{pmatrix}$(行列乗法)
$(ac-bd)+i(ad+bc)$(①より)
#2と一致しました。

仮定した複素数の行列は、それぞれの乗法の規則を保存したまま、同じ結果を導きます。すなわち両者は同じ対象です。

よって

虚数は行列で
$a+bi=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$
と表現できます。

立体的な数(認識)を平面で解釈して辻褄を合わせると虚数という奇妙な数が必要になったってことかなと。

あるn次元同士の衝突が別のn+1次元に飛び出すようなことは普遍的に起こりますよね。

速度と質量で記述した運動が熱という次元に飛びたしたり。

「数≒認識≒因果関係」の根にあるのはこの普遍的な物理現象だからで、二つの対象の作用が別の次元の意味を創り出すという複素数の規則は、物理的にも都合が良いことが多いのだと思います。

量子などの物質に応用すると奇妙な解釈が生まれてしまう。