テイラー多項式近似　その三

アルキメデスの性質

順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。

x+⋯+x⏟n<y.

順序群Gにおける正の元の対x, yで、xがyに対して無限小になっているようなものは存在しないときGはアルキメデス的であると言われる。

ウィキペディア

「どんなに小さな砂であっても、膨大に集めればどんな山よりも大きくなる。」
という人間の直感を成立させる実数の性質。

n次の微分は前の微分の導関数を今の微分の導関数に代入していく構造なので、微分するほど参照するxの範囲は再帰的に大きくなります。

$f(x)^{n}=\dfrac{\frac{f^{n-1}((x+h)+h)}{h}-\frac{f^{n-1}(x+h)}{h}}{h}$

小さな数であっても無限個集めれば任意の実数より大きくなりますので、微分の回数を増すほど、参照する範囲は広がる、すなわち、無限階微分するなら理論上はxの範囲はグラフ全体に広がる。

テイラー展開
$$f(x+a) = f(x) + f'(x)a + \frac{f”(x)}{2!}a^2 + \dots$$

無限階微分できるなら多項式で全体の動きを近似できるテイラー展開の文脈。

$f'(x)$:隣の状態を知る
$f”(x)$:隣の隣の状態を知る
$f”'(x)$:隣の隣の隣の状態を知る
…

論理的に無限階微分できるなら、一点の情報を基に全体の性質を復元できるってことですよね。これ面白くないですか。

宇宙のある一点に暗号が圧縮されていて、それを解けば宇宙全体を復元できる。

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