行列の導入。行列とは何ぞや？

行列

ざっと調べた情報を基に得た直感を敷衍していきます。

数を並べた構造が行列。
行列はベクトルを別のベクトルへ送る、あるいは変換する写像。あるいは空間。とその歪み。

行列という空間(≒構造)を通ったベクトルは別のベクトルへ変換される。

ある人の「脳」という物理的な構造にベクトル(情報≒刺激)を入力すると、それはベクトルとして出力(解釈)される。
※行列とベクトルの違いと演算規則は下

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0  \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$

この行列をベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ に作用させると、結果は必ず $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

ベクトルのz次元が消えました。

これを脳の構造に置き換えると…

あなたの周りにもいるはずです。

ネットの言論には多いと思います。概念や現象、人の性質の奥行き(z軸)を一瞬で消し去る人。

単一的な視点でしかものを見れない故に「構造の奥行き」ではなく、「良し悪し(面)」だけで物事を語る人。

思考に奥行きがなく潰れている人。

次元の低い思考は、入力の次元を潰す思考のことだと言えるのかもしれません。

次。
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

この行列にはどのようなベクトルを作用させても方向が変わらりません。

どう説得しても思考の向きが変わらない人。

試しに$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ というベクトルを作用させてみます。

行列とベクトルの積
$$\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax + by \\cx + dy\end{pmatrix}$$

引用AI

テンソル

テンソルとは、**スカラー（0次元）やベクトル（1次元）、行列（2次元）といったデータ構造を一般化した「多次元配列」**のことで、機械学習や物理学などで使われ、次元数を増やすことでより複雑なデータを表現でき　る数学的概念です。簡単に言うと、数字の集まりを次元（軸）で整理したもので、1つの値ならスカラー（0階テンソル）、縦に並んだ値ならベクトル（1階テンソル）、行と列なら行列（2階テンソル）となり、これらをまとめて「テンソル」と呼び、3次元以上も扱えます。

• ベクトル（1階テンソル）:$n$ 個の成分を持つ1列（または1行）の配列。規則：成分を $v_i$ としたとき、インデックス（添字）が 1つ で指定される。性質：空間内の 「特定の場所」または「特定の変位」 を一意に指し示す。
• 行列（2階テンソル）:$m \times n$ 個の成分を持つ格子の配列。規則：成分を $a_{ij}$ としたとき、インデックスが 2つ（行と列）必要になる。性質：空間から空間への 「変換（写像）」 そのものを記述する。

• ベクトルの規則（受動的）:ベクトル同士の加法は可能ですが、ベクトルが別のベクトルを「変形」させることはありません。ベクトルは常に演算の 「対象（Object）」 です。
• 行列の規則（能動的）:行列 $A$ はベクトル $\mathbf{v}$ に対して左から作用し、新たなベクトル $A\mathbf{v}$ を生成します。規則：行列 $A$ の列数と、ベクトル $\mathbf{v}$ の次元が一致しなければ演算不能。性質：行列はベクトルを「回転」「拡大」「投影」させる 「演算子（Operator）」 です。

引用AI

行列はベクトルを拡張した概念。サイズが違います。