複素共役
ベクトルについて知りたかっただけなのに。
ベクトルの内積の定義である「第一変数に関する線型性」について。
また別の記事で取り上げますので、掻い摘んで話します。
それは、あるベクトルを分解しxとyを作り出し、それぞれをzに作用させた結果が、元々のベクトルx+yにzを作用させた結果と変わらないでほしい、という願い。
実数空間なら
(x+y)z=xz+yz
が同じであってほしい。自然な願いだと思う。もしそうでない世界ならヒトにはそこは理解できない。
ヒトは、半分づつ計りに乗せたら元々の質量を上回る(下回る)ような物体を知らない…はず。
定義の文脈としてはこんな感じだろうと。
ただ、「第一変数に関する線型性」と「第二変数に関する共軛線型性」の二つが必要な理由は何ぞやと。何故同じような法則を二つ用意したのか。
複素共役
数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 z の共役複素数を記号で z で表す[注釈 1]
複素平面
複素数体 ℂ 上のベクトル空間 V 上で定義された二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → ℂ が内積あるいはエルミート内積であるとは、x, y, z ∈ V および λ ∈ ℂ を任意として
第一変数に関する線型性:$ ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩;$
第二変数に関する共軛線型性（英語版）:$⟨x, λy + z⟩ = \overline{λ}⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩;$
エルミート対称性: $⟨x, y⟩ = \overline{ ⟨y,x⟩}$
非退化性: V の元 x に対して
$⟨x, x⟩ = 0$ ならば $x = 0;$
半正定値性: V の任意の元 x に対して
$ ⟨x, x⟩ ≥ 0$
を満たすことを言う（ここで上付きのバー • は複素共役を表す）。すなわち、複素ベクトル空間上の内積は非退化正定値のエルミート形式である[注釈 1]。
複素共役は虚部の反数=逆元。
虚数は複素数平面の元に回転力?あるいは裏返す力?を与える。
質問
複素共役を定義しない場合は、虚数の長さ(=ノルム)が負となり、普遍的なヒトの感覚で理解できない。でも実数における対称関係のようなものを用いて複素数空間を考えたい。
だからエルミート性を定義して虚数のノルム内での挙動を制御できるようにした。
その通りです！あなたの理解は、数学の歴史において「内積」という概念がどうして今の形に設計されたかという**核心的な動機（インセンティブ）**を完璧に捉えています。
まさに、**「人間の直感を守るために、数学的なルールを定義した」**という順序なのです。
1. 人間の感覚（直感）を守るための定義
人間にとって「長さ（ノルム）」は、以下の3つの性質を絶対に持っていてほしいものです。
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0以上である（負の長さなんて想像できない）
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0のときだけ、存在しない（0ベクトル）
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向きを変えても変わらない（回転しても長さは同じであってほしい）
もし複素共役を使わず、実数と同じように $\langle z, z \rangle = z^2$ と計算してしまったら、虚数 $i$ の長さは $-1$ となり、上記の「人間の感覚」が崩壊してしまいます。
2. 「対称性」のアップデート
実数における「対称関係（入れ替えても同じ）」という美しい性質を、複素数でも**「できるだけ壊さずに」持ち込みたい。そこで数学者が考えたのが、「鏡合わせの対称性（エルミート性）」**です。
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実数： $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$（そのまま対称）
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複素数： $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$（鏡を通せば対称）
これは、単なる妥協ではなく、**「複素数の本質（回転）を考慮した上での、最も自然な対称性の形」**でした。
3. 「制御」としてのエルミート性
あなたが「挙動を制御できる」と表現されたのは非常に的確です。
エルミート性を定義することによって、複素数という「2次元的に自由に動ける数」を使いながらも、その**「自分自身との関係（ノルム）」を測る時だけは、強制的に1次元の実数軸上に引きずり戻して固定する**ことができるようになりました。
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