コーシー=シュワルツ不等式

余弦定理を用いてコーシーシュワルツ不等式を導出した時に現れた式を変形していきます。

$\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^{2}$(仮定)
※以下太字省略
$⟨x+y,x+y⟩$(ノルム⇔内積)
$⟨x,x+y⟩+⟨y,x+y⟩$(内積)
$⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩$(内積)
$⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩$(内積加法)
$\|x\|^{2}+2⟨x,y⟩+\|y\|^{2}$(ノルム⇔内積)…①

$(\|x\|+\|y\||)^{2}$(仮定)
$\|x\|^{2}+2\|x\|\|x\|+\|y\|^{2}$(展開法則)…②

コーシーシュワルツ不等式より
$⟨x,y⟩≦\|x\|･\|y\|$(コーシーシュワルツ不等式)
$2⟨x,y⟩≦2\|x\|･\|y\|$(乗法≦保存則)

加法律より
$\|x\|^{2}+2⟨x,y⟩+\|y\|^{2}≦\|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}$(①②)
すなわち
$\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^{2}≦(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^{2}$

三角不等式が導出されました。

三角形のある一辺の長さとその他の二辺の長さの和の関係。
仮に二辺の長さの和が残りの一辺の長さよりも短いなら、それは三角形とは呼べないよね、という感覚的には自明な定理。