乗法の交換法則を証明していたはずが気がつくと分配法則を証明していました。
何を言っているのか自分も分かりませんが、気がついたら証明されていました。
分配法則は下の法則
x(y+z)=xy+xz
分配法則の証明
数学的帰納法を用いますので、連鎖反応の起点の準備をします。
z=0の場合
x×(y+z)(前提)
x×(y+0)(代入)
x×y(乗法&加法定義)
xy+xz(前提)
xy+0(代入)
x×y(加法定義)
数学的帰納法ドミノの最初の1つ目が立ちました。
さて、次は数学的帰納法を成立させる為に下の命題を証明します。
x(y+z)=xy+xz→x(y+s(z))=xy+xs(y)
左辺の変形
x(y+s(z))(前提)
x(y+z+1)(代入&加法定義)
x((y+z)+1)(加法結合法則)
x(s(y+z))(加法定義)
x(y+z)+x(乗法定義)
xy+xz+x(数学的帰納法仮定)
右辺の変形
xy+xs(z)(前提)
xy+xz+x(乗法定義)
同値に変形できました。
x(y+z)=xy+xz
が成立するなら
x(y+s(z))=xy+xs(y)
が成立します。
z=0の場合は上で証明しています。
念の為z=1の場合を証明してみます。
左辺
x(y+1)(前提)
xs(y)(加法定義)
右辺
xy+x×1(前提)
xy+x(乗法定義)
xs(y)(乗法定義)
起点を1の場合、0の場合、共に分配法則を満たすことが確認できました。
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