暇つぶしに見て 1×0=0と1×1=1の証明
自然数の乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義するならば、...
暇つぶしに見て
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 1+1=1×2の証明
自然数の加法と乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定...
暇つぶしに見て 偶数と奇数の述語論理の表現
なんとなくで述語論理の論理式を作ってみます。偶数と奇数を述語論理で表現してみます。我流なので悪しからず。 述語論理の練習 偶数 ∀k∈Ν∃x∈Ν(2k=x)任意の自然数kに対するある自然数xが存在する、それは2k=xを満たすような関係である...
暇つぶしに見て 含意から三段論法を演繹
三段論法と仮定 証明 下のような論理式「AならばBかつBならばC、ならばAならばCである」(A→B∧B→C)→(A→C)「AならばBかつBならばCかつCであるならば、AならばCである」(A→B∧B→C)∧A→C 大枠の含意(A→B∧B→C)...
暇つぶしに見て 1+1=2の証明
1+1 =2の証明を定義から導きます。 自然数の加法 定義1.自然数 1 が存在する。2.任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。3.異なる自...
暇つぶしに見て 述語論理の全称記号と存在記号
命題論理は一通り終わったので、発展形の述語論理へ進みます。ここから数学っぽくなります。 全称記号と存在記号 定義 全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号...
暇つぶしに見て 因果関係の認識と数学
因果関係による人の認識を抽象的に説明すると、前提が真なら常に結論も真となるよな命題の組合せと言えると思います。で、因果関係は原因と結果を勝手に結びつけて認識すること。 因果関係による認識 認識の例 例)押した、だから動いた押した=A,動いた...
暇つぶしに見て 排中律の証明
排中律 定義 排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し"P ∨ ¬P"（P であるか、または P でない）...
暇つぶしに見て 後件否定と前件肯定の証明
後件肯定と前件肯定と後件否定と前件否定 前件肯定の証明 1.(A→B)∧A(仮定)2.(A→B),A(∧除去)3.B(→除去)4.((A→B)∧A)→B(→導入) 後件否定の証明 1.A→B,¬B(仮定)2.A(仮定)3.B(→除去)4.B...
暇つぶしに見て 矛盾と恒真式の定理の証明
∨,∧と⊥,Tの関係。 の矛盾と恒真式の定理 恒偽式(矛盾)と恒真式の定理の証明。 A⇔A∨⊥ ∨と⊥の関係。 1.(仮定)2.A(仮定)3.A(同語反復)4.A→A(→導入)5.(仮定)6.A(矛盾除去)7.⊥→A(→導入)8.A(∨除去...
暇つぶしに見て 双対とド・モルガンの法則
双対という概念に遭遇しました。これについて考えていきます。 双対とド・モルガンの法則 定義 【双対】命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論...
暇つぶしに見て (A∧B)→C⇔A→(B→C)の証明
これまでに証明した命題論理の定理を用いた証明を行います。 (A∧B)→C⇔A→(B→C) 証明 1.(仮定)2.¬(A∧B)∨C(→言い換え)3.¬A∨¬B∨C(ド・モルガンの法則)4.¬A∨(¬B∨C)(結合法則)5.A→(¬B∨C)(→...