乗法の交換法則　その3

ようやく乗法の交換法則です。

乗法の交換法則

数学的帰納法が成立することを証明します。

a×b=b×a⇔a×s(b)=s(b)×a　

a×s(b)(前提)
a×b+a(乗法定義)
a×b+(a×0)+a(乗法定義)
a×b+(a×1)(乗法定義)
b×a+1×a(数学的帰納法仮定&1の交換法則)
(b+1)×a(分配法則)
s(b)×a(加法定義)

1との乗法

昨日の交換法則には推論規則を満たさない欠点があったので、そこを修正するために試行錯誤していきます。 今回はそこを修正すべく別の手段を考えてみます。 1と任意の自然数の乗法についての定理を導きます。 a×1=1×a=a が定義から導けるのか、...

riku-nagahama.xyz

2024.01.09

乗法の交換法則その1

乗法の交換法則を我流で証明します。その前段階としてa×0=0×aが真である証明。 乗法の交換法則の証明 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + aWi...

riku-nagahama.xyz

2024.01.08

s(b)×a(前提)
(b+1)×a(加法定義)
b×a+1×a(分配法則)
a×b+a×1(数学的帰納法仮定&1の交換法則)
a(b+1)(分配法則)
as(b)(加法提議)

前件を真だと仮定すると後件の真が証明される構造になっています。

次にドミノの起点となる0と1の交換法則ですが、これは別の記事で既に証明済です。
よって乗法において交換法則が成立することが証明できました。

乗法の分配法則

乗法の交換法則を証明していたはずが気がつくと分配法則を証明していました。何を言っているのか自分も分かりませんが、気がついたら証明されていました。 分配法則は下の法則x(y+z)=xy+xz 分配法則の証明 数学的帰納法を用いますので、連鎖反...

riku-nagahama.xyz

2024.01.14

乗法の分配法則その2

下の記事の続き。 x(y+z)⇔xy+xyは証明できたので(y+z)x⇔yx+zxを証明します。 (x+y)×z=xz+yz 数学的帰納法の起点を作ります。 z=0の場合 (x+y)×0(前提)0(乗法定義) x×0+y×0(前提)0+0(...

riku-nagahama.xyz

2024.01.14