乗法の分配法則その2

下の記事の続き。

x(y+z)⇔xy+xy
は証明できたので
(y+z)x⇔yx+zx
を証明します。

乗法の交換法則その1

乗法の交換法則を我流で証明します。その前段階としてa×0=0×aが真である証明。 乗法の交換法則の証明 すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + aWi...

riku-nagahama.xyz

2024.01.08

乗法の分配法則

乗法の交換法則を証明していたはずが気がつくと分配法則を証明していました。何を言っているのか自分も分かりませんが、気がついたら証明されていました。 分配法則は下の法則x(y+z)=xy+xz 分配法則の証明 数学的帰納法を用いますので、連鎖反...

riku-nagahama.xyz

2024.01.14

(x+y)×z=xz+yz

数学的帰納法の起点を作ります。

z=0の場合

(x+y)×0(前提)
0(乗法定義)

x×0+y×0(前提)
0+0(乗法定義)
0(加法丁儀)

z=1の場合

(x+y)×1(前提)
x+y(乗法定義)

x×1+y×1(前提)
x+y(乗法定義)

1の場合も0の場合も分配法則が成り立つことが証明できました。

次は数学的帰納法の連鎖反応を作ります。

(x+y)×z=xy+yz⇔(x+y)×s(z)=xs(z)+ys(z)

(x+y)×s(z)(前提)
(x+y)×z+(x+y)(乗法定義)
xz+yz+x+y(数学的帰納法仮定)

xs(z)+ys(z)(前提)
xz+x+yz+y(乗法定義)
xz+yz+x+y(加法交換法則)

前件の

(x+y)×z=xy+yz

が成立するなら後件の

(x+y)×s(z)=xs(z)+ys(z)

が成立します。

また、z=0の場合、1の場合のいずれも交換法則が成立することは既に証明しています。
ドミノ倒しが作れました。数学的帰納法が成立します。