暇つぶしに見て 集合の濃度
参考書。 勝手に解釈すると A〜B は対応関係。一対一関係。 集合A,Bの濃度a,bの定義。 A〜B₁,B₁⊆B という規則(関係)が当てはめられる何らの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。 引用では言及されてませんが 上で定義した関係は ...
暇つぶしに見て
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 頭の体操
集合Aの部分集合とはすなわちべき集合とその濃度。 二つの要素を持つ集合のべき集合の要素数は A=aがある B=bがある と定義すると要素の組み合わせは四通り (A,¬B)(¬A,B)(¬A,¬B)(A,B) べき集合の任意の要素xについては...
暇つぶしに見て 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。 以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。 1.(仮定) 2.A∨B(∨導入) 4.A∨C(∨導入) 5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入) 6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)...
よもやま話 公理と証明と認識
公理と証明と認識 この定義は発想が面白く、また根底にある考え方が有用だと感じたので共有します。 これは極めて抽象的な文なので、「直線」を「親子関係」、「点」を「親」「子」と文字を置き換えても文が成立します。 抽象度を高めて共通項以外を削ぎ落...
暇つぶしに見て 3✕3魔法陣
最近、論理パズルにハマっています。 良い問題なら一問で数時間、数日遊べるのでコスパ最強ですよ。紹介した書籍にはそれが何十問もあります。で、数百円。 居酒屋で酒を飲むより、漫画を買うより、遥かにコスパが良い。しかも論理性も鍛えられる。 遊戯王...
暇つぶしに見て 真部分集合の定義
A⊂B⇒A=B これを自然演繹風に反証しようとした場合、真部分集合がないと不便だなと。 真部分集合 集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。 Wikipedia とりあえずこの定義を...
暇つぶしに見て 形式的に定理を導く練習
数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。 公理をペアノの公理という。 0 ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0 任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば ...
暇つぶしに見て ⊢と⊨と意味論と形式論
二つ同じ様に出てくるけど、と思って調べてみると意味が異なる様子。 形式論と意味論 ⊨ 主に意味論的な帰結関係に使われる。 「Γ ⊨ φ」と書いて「Γの全ての論理式が真であるなら、論理式φが真である」を意味する。 「M ⊨ Γ」と書いて「(事...
よもやま話 思考スタイルと文化
論理的な思考とは 最近の疑問。 「普遍的な正しさ」とは何か。 もっと言うと、「正しさ」と「正しさを証明する正しい手順」とは何かという疑問。 このモヤモヤを晴らすべく日に二冊ほどよんでいます。で、面白い本を見つけましたので共有します。 僕の疑...
暇つぶしに見て 矛盾からは何でも導ける証明
ふと、「矛盾からはどんな命題を導いても良い」と言える推論はどんなだろなと。 （数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある Wikipedia そのような規則があると勝手...
暇つぶしに見て 公理主義と無定義用語へのフワッとした感想
数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。 僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造...
暇つぶしに見て 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...