同値関係と代入法則

同値関係について、また考える

既に同値についてはどんな関係なのかを色々考えてきましたが、除法や減法のように我流で定義してみようと思います。 と言っても一度きちんとした定義は学んでいるので、なぜそのような定義になったのか？に個人的な文脈を与えます。 同値関係 等しいの認識...

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2024.01.18

我流の同値関係を元に法則性を見つけます。
人の認識として

a=b⇒a*c=b*c

“*”は広い意味での演算を表しています。

どう解決しようかと考えたら、やっぱり同値関係の法則として定義すべきなのかなと。

代入法則

加法

まずは加法の代入法則から。こんな感じの法則性を導きたい。a=b⇒a+c=b+c

c=0の場合

a+0=b+0(前提)
a=b(加法定義)

次に数学的帰納法による連鎖反応を起こすために下を証明します。a=b∧a+c=b+c⇒a+s(c)=b+s(c)

a+s(c)(前提)
s(a+c)(加法定義)
s(b+c)(推移律、仮定)
b+s(c)(加法定義)

a+0=b+0が成立することは証明済なので数学的帰納法の連鎖反応により証明が完了しました。

加法において任意の自然数との代入法則が成立します。cに何を入れても関係は変わりません。

次に乗法の代入法則。

乗法

c=0の場合
a×0=b×0=0(乗法定義)

ドミノの最初が立ちました。
次に連鎖反応の構造を用意します。

a=b∧a×c=b×c⇒a×s(c)=b×(c)

a×s(c)(前提)
(a×c)+a(乗法定義)
(b×c)+b(仮定、推移律)
b×s(c)(乗法定義)

自然数の乗法の代入法則が証明されました。